열팽창 계수(CTE, Coefficient of Thermal Expansion) 이란?? 선, 면적, 체적 CTE

*목차*

1. 열팽창 계수 (CTE, Coefficient of Thermal Expansion) 이란?

2. 선 열팽창 계수 (CLTE, Coefficient of Linear Thermal Expansion)

3. 면적 열팽창 계수 (Coefficient of Area Thermal Expansion)

4. 체적 열팽창 계수 (Coefficient of Volume Thermal Expansion)

5. 열챙창의 등방성(Isotropy), 이방성(Anisotropy)

1. 열팽창 계수 (CTE, Coefficient of Thermal Expansion) 이란?

-. 반도체 IC는 Wafer 위에 산화막, Metal, Polymer 등 다양한 물질(Material)을 반복해서 층을 쌓아가면서 만들어져요.

그리고 반도체 제조 공정(Semiconductor Fabrication Process)을 하다보면 가열, 냉각을 반복해서 Chip 온도가 상승했다가 하락했다가 변화가 발생해요.

모든 물질은 온도 변화에 따라 크기가 변하는데요

보통 물체가 열을 받아서 온도가 상승하면 부피(크기)가 증가하고

반대로 열을 빼앗겨서 온도가 하락하면 부피(크기)가 감소해요.

.

그런데 물질마다 온도에 따른 부피 변화량이 달라요.

이러한 차이로 인해서 반도체 공정 중에 Wafer Bending, Warpage, Crack 등

문제가 발생하는 어려움이 있어요.

여기서

'일정한 압력'에서 '온도(Temperature)'와 물체의 '열팽창(Thermal Expansion)' 사이의 비율.

즉, 물체가 1℃ 상승했을 때 크기(선, 면적, 체적)가 얼마나 변하는지 나타내는 수치. 

(20℃ 기준)

를 '열팽창 계수(or 열팽창률, CTE)' 라고 해요.

(단, 기체 상태의 물질은 온도에 따른 부피 변화가 동일해요.)

영어로 'Coefficient of Thermal Expansion' 줄여서 CTE 라고 해요.

열팽창 계수의 단위는

[ppm/℃] 또는 [ppm/K] 로 정의해요

**ppm : Part per million, 백만분율(10^-6)

**K : kelvin, 켈빈, 절대온도

CTE 값이 큰 물질은 온도 변화에 크기가 민감하게 변하고

반대로 작은 물질은 온도 변화에 크기가 적게 변해요.

백만분의 단위라서 작게 느껴질 수도 있지만

반도체 Chip을 만들 때 보통 Wafer 위에 마이크로미터(㎛) 또는 나노미터(㎚) 단위로 회로 패턴이 만들어지기 때문에 열변형이 치명적일 수 있어요.

또 반도체 분야 뿐만 아니라 다른 분야에서도 열팽창, 열변형이 구조물에 얼마나 영향을 미칠지 신중한 고려가 필요할 것 같아요.

열팽창 계수에는 아래와 같이 3가지가 있어요.

-. 선 열팽창 계수 (CLTE, Coefficient of Linear Thermal Expansion)

-. 면적 열팽창 계수 (Coefficient of Area Thermal Expansion)

-. 체적 열팽창 계수 (Coefficient of Volume Thermal Expansion)

말 그대로

선 열팽창계수는 온도 1℃(1K)가 상승할 때 팽창하는 길이의 변화 비율.

면적 열팽창계수 온도 1℃(1K)가 상승할 때 팽창하는 면적의 변화 비율.

체적 열팽창계수 온도 1℃(1K)가 상승할 때 팽창하는 부피의 변화 비율.

설계할 때 시뮬레이션 프로그램에 따라, 또는 중요하게 고려되는 차원에 따라 적절한 계수를 선택해서 사용한다네요.

보통 물질의 열팽창 계수를 검색해서 정보를 찾아보면

선 열팽창 계수(CLTE)로 나오네요.

왜냐하면 면적, 체적 열팽창계수는

선 열팽창계수의 2배, 3배 값으로 구할 수 있기 때문이에요.

아래부터는 각 열팽창 계수를 구하는 과정을 정리해 봤어요.

2. 선 열팽창 계수 (Coefficient of Linear Thermal Expansion)

-. 선의 차원으로 CTE 단위를 보면

로 표현할 수 있어요.

즉, 단위 길이 당 온도가 상승할 때 팽창하는 길이의 비율이에요.

어떤 물질의 CLTE 값이 10 ppm/K 라고 하면

물질의 온도가 1K 상승했을 때 1m 당 10㎛가 증가한다는 뜻이에요.

참고로 위 선 열팽창 계수 단위에서 길이에 해당하는 'm'을 면적 또는 체적 단위를 넣으면

면적 또는 체적 열팽창 계수의 단위가 돼요.

선 열팽창 계수를 구하는 식을 정리해봤어요.

- L : 어느 막대의 초기 길이

- ΔT : 온도 변화량

- ΔL : 온도 변화로 발생한 막대 길이의 변화량

- α : 선 열팽창 계수

라고 했을 때

길이의 변화량(ΔL)은 초기 길이(L)과 온도 변화량(ΔT)에 비례해요.

그리고 길이의 변화량(ΔL)은 아래와 같이 쓸 수 있어요.

계수(α)만 남기고 나머지를 넘기면 선 열팽창 계수를 구할 수 있어요.

3. 면적 열팽창 계수 (Coefficient of Area Thermal Expansion)

-. 면적 열팽창 계수는 단위 면적 당 상승할 때 팽창하는 면적의 비율이에요.

면적 열팽창 계수를 구하는 방법은 아래와 같아요.

정사각형의 열팽창 계수를 구한다고 했을 때,

- A : 초기 면적

- ΔT : 온도 변화량

- ΔA : 온도 변화에 따른 면적의 변화량

- A' : 열팽창 후의 면적

- β : 면적 열팽창 계수 

사각형의 면적은 (가로 길이) x (세로 길이) 이니까

열팽창 후의 면적은 아래와 같아요.

위 식을 풀면

여기서 길이의 열팽창량은 충분히 작은 값이기 때문에

제곱값이 0에 근사하므로 무시할 수 있어요.

위 값을 식에 대입하면

이렇게 표현할 수 있어요.

여기서 면적의 열팽창량은 (초기 면적)과 (온도 변화량)에 비례하고

아래와 같이 표현할 수 있어요.

여기서 β = 2 α

면적 열팽창 계수(β)는 선 열팽창 계수(α)의 2배라는 것을 알 수 있어요.

4. 체적 열팽창 계수 (Coefficient of Volume Thermal Expansion)

-. 체적 열팽창 계수는 '선 열팽창 계수'의 3배 값이에요.

구하는 과정은 면적 열팽창 계수를 구할 때와 같은 방식으로 구할 수 있어요.

정육면체의 열팽창을 봤을 때,

- V : 초기 체적

- ΔT : 온도 변화량

- ΔV : 온도 변화에 따른 체적의 변화량

- V' : 열팽창 후의 체적

- γ : 체적 열팽창 계수

 육면체 부피는 (가로 길이) x (세로 길이) x (높이) 이기 때문에

열팽창 후의 부피는 아래와 같아요.

위 식을 풀면

길이 변화량(ΔL)은 충분히 작은 값이기 때문에

2제곱, 3제곱 값은 0에 근사하므로 무시할 수 있어요.

0에 근사한 값을 제외하면 아래와 같이 볼 수 있어요.

초기 길이(L)의 3제곱은 초기 부피(V)이기 때문에

위 식에 대입하면 부피의 변화량을 구할 수 있어요.

열팽창으로 인한 부피의 변화량(ΔV)은 초기 부피(V)와 온도 변화량(ΔT)에 비례해요. 그리고 부피 변화량은 아래의 식과 같아요.

위 식으로 '체적 열팽창 계수(γ)'는 '선 열팽창 계수(α)'의 3배임을 할 수 있어요.

5. 열팽창의 등방성(Isotropy), 이방성(Anisotropy)

-. 금속처럼 '단일 종류 물질'로 이루어진 물체는

모든 방향으로 동일하게 팽창을 해서 초기 형태를 유지해요.

이처럼 모든 방향으로 동일하게 변하는 물질을

'등방성 물질(Isotropic Material)' 이라고 해요.

그런데 '복합제'로 이루어진 물체의 경우

열팽창 정도가 방향마다 달라서

팽창하면 초기 형태를 유지하지 못하게 돼요.

이런 물질을 '이방성 물질(Anisotropic Material)' 이라고 해요.

이방성 물질은 x, y, z 축마다 열팽창 계수가 달라요.

하지만 '등방성 물질'이라도 물체 위치마다 열 연달이 다르면

팽창하는 양이 부분마다 다를 수 있어요.

**공부하면서 정리했는데 오류가 있으면 댓글로 알려주세요.